1、求满足方程1!十2!十3!十……十x!=y^2的所有正整数x,y的值。
解：代入易知，当x<5时，满足原方程的组的解只有两组：(1,1)和(3,3)。
下面说明原方程除此两解外，无其它满足要求的正整数解。
因为5!+6!+7!+\cdots=5!\times(1+6+6×7+\cdots)=120\times(1+6+6×7+\cdots)
即10 \mid (5!+6!+7!+\cdots)
又1!+2!+3!+4!=33
所以当x \geq 5时，
1!十2!十3!十……十x! \equiv 3 (mod10)
即：1!十2!十3!十……十x!的个位数是3，而在整数的平方数中，个位数不可能是3.
所以当x \geq 5时，原方程不存在满足要求的正整数解(x,y)。
所以，满足原方程的解(x,y)有且仅有两组
\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=1\end{matrix}\right.和\left\{\begin{matrix}x=3\\ y=3\end{matrix}\right.
2、已知16所学校要进行足球联赛，每所学校有2支球队分别是甲队和乙队，甲队相对较强,乙队相对较弱。规则是同所学校的两队不进行比赛，与其他每所学校的两队都进行比赛。到目前，除A校甲队外，其余每队进行的比赛场数都不同，求A校乙队目前已进行了多少场比赛？
解：A校乙队目前已进行了0场比赛。理由如下：
共有32支球队,每队需要比赛30场。
A市甲队以外其他各队已赛场数均不相同，则除A市甲队外其余共31队比赛场数分别为0,1,2,……,30。
则有球队比赛场数0场，假设不是A市乙队，则其他城市必有球队未比赛，则除A队以外其他球队不可能有赛30场的（同一个城市的两队不比赛），所以A市乙队比赛0场。
3、一个四边形ABCD的面积是32，其中AB、AC、CD三边均为整数，且这三边的和为16，问这样的四边形有几个？
解：设AB=a,CD=b,AC=x，其中（a,b,x都为正整数，且a\leq b）
令\Delta ABC边AB的高为m，\Delta ADC边CD的高为n。则
\begin{align}S_{ABCD} \\& =S_{\Delta ABC+\Delta ADC} \\& =\frac{1}{2}am+\frac{1}{2}bn \\& \leq \frac{1}{2}(a+b)x \end{align}
当且仅当m=n=x时取等号。
此时AB \parallel CD，即四边形ABCD为梯形或平行四边形，且AC为它们的高。
由已知得：
\left\{\begin{matrix}64 \leq (a+b)x\\ a+b=16-x\end{matrix}\right.
∴ 64 \leq (16-x)x
化简得：(x-8)^2 \leq 0
又∵ (x-8)^2 \geq 0
所以(x-8)^2 = 0,x=8，此时a+b=8
所以这样的四边形有4个，分别是
(a,b,x)=(1,7,8);(2,6,8);(3,5,8);(4,4,8).
4、\Delta A'B'C' 的三边对应地比 \Delta ABC的三边小。试举例说明\Delta A'B'C'的面积是否一定比\Delta ABC的面积小。
解：海伦公式，三角形的三边分别为a,b,c，设p=\frac{1}{2}(a+b+c)，则
这个三角形的面积S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
设S_{\Delta ABC}=S_1,S_{\Delta A'B'C'}=S_2,
(1)当\Delta ABC三边为(10,10,16)，\Delta A'B'C'三边为(3,3,3)，
S_1=48，S_2=\frac{9}{4}\sqrt{3} \approx 3.897，S_1 > S_2；
(2)当\Delta ABC三边为(10,10,16)，\Delta A'B'C'三边为(4\sqrt{6},4\sqrt{6},8\sqrt{3})，
S_1=48，S_2=48，S_1 = S_2；
(3)当\Delta ABC三边为(10,10,16)，\Delta A'B'C'三边为(9,9,9)，
S_1=48，S_2=\frac{81}{2}\sqrt{3} \approx 70.148，S_1 < S_2.
所以，\Delta A'B'C'和\Delta ABC的面积关系不能确定。