【精彩一题】分数指数幂整数

求所有整数$k(k\geq 8)$，使得${k}^{\frac {1} {k-7}}$也是整数。（来源：上海 · 郑韫瑜）

【分析与解】

易知，

当$k=8$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={8}^{\frac {1} {8-7}}=8$是整数；

当$k=9$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={9}^{\frac {1} {9-7}}=3$是整数；

当$k=10$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={8}^{\frac {1} {10-7}}=\sqrt[3]{10}$不是整数；

下面证明，当$k\geq 11$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}$不是整数；

先证明，当$k\geq 11$时，$k< {2}^{k-7}$.

（i）当$k=11$时，$11< {2}^{11-7}=16$，成立；

（ii）假设当$k=m(m \geq 11)$时，有$m< {2}^{m-7}$;

则$ {2}^{m+1-7}=2\cdot {2}^{m-7}>2m>m+1$，

由（i），（ii）归纳，当$k\geq 11$时，$k< {2}^{k-7}$，得证。

于是，当$k\geq 11$时，

$1<{k}^{\frac {1} {k-7}}<{(2^{k-7})}^{\frac {1} {k-7}}=2$，

所以，${k}^{\frac {1} {k-7}}$不可能是整数。

综上，满足条件的整数$k=8$或$k=9$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}$是整数。