一道“工程问题”的奥数问题解决

   【题目】
有甲、乙两项工作，张某单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李某单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作两人都可以合作，那么，张、李共同完成这两项工作至少要多少天？

   【解答与分析】
一、等待是无助于缩短时间的，因此任何时刻张、李都在拼命工作。
二、同样的工作体制分开和不分开时间是不变的。比如，张做甲，李做乙一段时间以后，换一种工作体制工作一段时间，然后再张做甲，李做乙工作一段时间。这前后两段时间合并在一起的总时间是不变的。这样，我们就仅需考虑同一种工作体制连续的情况。
三、张做甲，李做乙这种体制是不合适的。比如张做甲，李做乙用了t时间。则甲工程的这部分需要李做:

\frac{1}{10}t\div \frac{1}{8}=\frac{4}{5}t < t

乙工程的这部分需要甲做:

\frac{1}{20}t\div \frac{1}{15}=\frac{3}{4}t < t

于是，整个工程只有三段时间：张在做乙，李在做甲；张和李同时在做甲；张和李同时在做乙。

     分别设第一段t_1，第二段时间为t_2，第三段时间为t_3。

\frac{1}{15}t_1+\frac{1}{20}t_3+\frac{1}{15}t_3=1

\frac{1}{8}t_1+\frac{1}{8}t_2+\frac{1}{10}t_3=1

注意到用t_1来表示t_2,t_3，并结合t_1的取值范围，可得出t_1+t_2+t_3的最值为11\frac{1}{9}.

即至少需要12天。