这两天同事问到家长给的一个问题：
其实这是新旧教材衔接造成的问题。现在很多老师基本达到一个共识，就是扩大2倍是在原来的基础了增加了2倍，也就是扩大到原来的3倍，变化后相当于原数乘3；扩大到原来的2倍只是将原数乘2。从这个层面上来说，扩大2倍与扩大到原来的2倍是有所不同的。
所以，家长对问题的思考是正确的！
现在我们也经常可以看到这样的两道判断题：
也许有人认为这两个题全对或全错。我们来分析一下：
假如这个圆原来的半径为R，周长为C=2πR，面积为S=πR²。
将这个圆的半径扩大2倍以后，按现在的理解，圆的半径应是3×R=3R，周长C‘=2π·（3R）=6πR=3·（2πR）=3C，面积S’=π（3R）²=9πR²=9S，原来的周长应该扩大到原来的3倍，面积应该扩大到原来的9倍，即此时圆的周长也是扩大2倍，但面积扩大了8倍（9S-S=8S）。判断题（1）是正确的。判断题（2）错误的。
为什么会有这个结果？其实我们可以利用高等数学稍作解析。
其实我们前面讨论的论点”扩大2倍与扩大到原来的2倍”是属于一个变化率的问题，在高等数学中，这个变化率我们可以用对应的数学概念”导数”来解析。
在第（1）个问题中，周长C与半径R的函数关系式为一次函数C=2πR，周长C关于半径R的导函数是一个常数2π，即一次函数的变化率是固定不变的；而在第（2）个问题中，面积S与半径R的函数关系式为二次函数S=πR²，面积S关于半径R的导函数是一次导函数S‘=2πR（我们可以看出S’=C，正因为这个原因，所以圆是一个完美图形），这个导函数并不是一个常数，是可变的。
所以，正因为上述原因，同样的一个扩大2倍，在第1个周长的情境下是正确的，在第2个面积的情境下就错了。
现在我们回到开篇中家长的遇到的困惑，我们知道一个比的比值（k）等于前项（x）除以后项（y，y不为0）所得的商，所以k=x/y，这是一个二元函数（含有两个自变量）。如果后项不变，比值k是关于前项x的一个一次函数（此时称为正比例函数），此时变化率不变，即比值k与前项x的变化相同；如果前项不变，那么比值是关于后项y的一个反比例函数，或是前项和后项同时变化，如果他们变化率不相同，那么比值肯定会发生变化，而比值的变化率与x和y均有关系。（具体变化可参考附文）
所以当存在两个自变量时，得一个变量一个变量去分析。所以家长的思考是对的。
【附文】
所以当后项g不变（即常数）时，g‘=0，k’仅与f的变化相关，如果f的变化只是一个正比例关系时，k的变化与f的变化相同；当后项g也是可变时，k的变化与f、g的变化都相关。