求阶乘90！的最后几个非零数字

一、最后一位非零数字

我们生活在一个十进制的世界。所以答案的关键在于，对于连续的这种四个整数有

f(k)=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)

=1000A+24

于是

f(k)(5k+5)=(1000A+24)(5k+5))

=(5000A+120)(k+1)

=10(100B+12)(k+1)

问题变为求12^{18}×18! 的最后一个非零数字。

注意到，2 的阶乘尾数呈 2、4、8、6、2 的循环，所以12^{18}的尾数是 4。

而 18! 可如法炮制为得到与12^3×3!的尾数是8，所以90!的最后一位数字是 2。

或者，对于注意到每个 24 对应一个 5，而 24×5=120，

所以其最后一位非零数字就是 2^{18}×18！的最后非零数字。随后步骤如上。

二、最后两个非零数字

题目要求 90！的最后两位非零数字，其本质是

\frac{90!}{10^{21}}(mod 100)

我们知道，从 1 乘到 90，其中会经过 18 个 5 ，1 个 25、50 和 75，

后者各可提供两个 5，所以一共有 21 个 5 的因子，而 4 的数量大于 5，所以尾数一共有 21 个零。

所以，问题变为求 90！先除掉10^{21}之后，再对一百取余。

由于 4 | \frac{90!}{10^{21}}(mod 100)，

即\frac{90!}{10^{21}}=0(mod 4)，

由孙子定理（中国剩余定理），

如果\frac{90!}{10^{21}}=a(mod 25)，

则\frac{90!}{10^{21}}=-24a(mod 100)

注意到

(5k+1)(5k+4)=4(mod 25)

(5k+2)(5k+3)=6(mod 25)

可得

(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)=-1(mod 25)

于是可以在取余中将所有在 5 的倍数之后的连续四位整数换成 -1，并将\frac{90!}{10^{21}}(mod 25)中上下的5约去，得

\frac{(-1)^{18}×9!×2×11×12×13×14×3×16×17×18}{10^{21}}(mod 25)，

分子、分母同乘19，得

\frac{(-1)^{22}×2×3}{19×10^{21}}(mod 25)=\frac{3}{19×2^{20}}(mod 25)，

因为

19×4≡2×13(mod 25)

所以上式替换为

3×13^{18}(mod25)

又注意到13^{3}=-3(mod 25)

所以3×3^6≡3×27^2≡3×3^2≡12(mod 25)

所以\frac{90!}{10^{21}}(mod 100)=12

故90!的最后两个非零数字是12。

附：
90!=1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000