笔算数A的五次方根

类似地，我们还可以笔算出\sqrt[5]{A}的情形：

需记忆：

1^5=1,2^5=32,3^5=243,4^5=1024,

5^5=3125,6^5=7576,7^5=16807,

8^5=32768,9^5=59409

【例1】笔算：\sqrt[5]{371293}

分析与解：

1、先从个位开始5位分级： 3 ^,71293，共分了两级，所以根是两位数；

2、从高级开始开方：根1得1，余2，合起来余271293；

3、最后试求根的个位：取整[ 271293÷5÷10 ]=5425，根据根的十位是1，连续取整[ 5425÷10 ]=542，[ 542÷10² ]=5，所以最后确定初根的个位是5；

4、调整根的个位：
（1）因为50×1×5×（10＋5）×[ (10+5)²-1×10×5) ]＋5^5＝609125>271293，所以根5大了，调小为4；
（2）因为50×1×4×（10＋4）×[ (10+4)²-1×10×4 ]＋4^5＝437824>271293，所以根4还是大了，调小为3；
（3）因为50×1×3×（10＋3）×[ (10+3)²-1×10×3 ]＋3^5＝271293=271293，所以根3刚好开尽。

所以\sqrt[5]{371293}=13。

【例2】笔算：\sqrt[5]{7962624}

分析与解：

1、先从个位开始5位分级： 79 ^,62624，共分了两级，所以根是两位数；

2、从高级开始开方：根2得32，余47，合起来余4762624；

3、最后试求根的个位：取整[ 476264÷5÷10 ]=9525，根据根的十位是2，连续取整[ 9525÷20 ]=476，[ 476÷10² ]=4，所以最后确定初根的个位是4；

4、确定根的个位：
（1）因为50×2×4×（20＋4）×[ (20+4)²-2×10×4) ]＋4^5＝4762624=4762624，所以根4刚好开尽。

所以\sqrt[5]{7962624}=24。

【例3】笔算：\sqrt[5]{40}（精确到0.01）

分析与解：

1、先确定根的个位：根2余8，添小数点，末尾补位5个零，余800000；

2、试求根的十分位：取整[ 800000÷5÷10 ]=16000，根据根的个位是2，连续取整[ 16000÷20 ]=800，[ 800÷20² ]=2，所以最后初根的十分位是2；

3、确定根的十分位：
(1)因为50×2×2×（20＋2）×[ (20+2)²-2×10×2) ]＋2^5＝1776032>800000，所以初根的十分位调根为1；
(2)因为50×2×1×（20＋1）×[ (20+1)²-2×10×1) ]＋1^5＝884101>800000（很接近了），所以初根的十分位继续调根为0。 

4、确定根的百分位：
小数部分继续补位5个零。由3知，初根的十分位1时，所得的结果偏大但很接近，可以看出初根的百分位很可能接近9，先定初根的百分位为9；
因为50×20×9×（200＋9）×[ (200+9)²-20×10×9 ]＋9^5＝78778220049<80000000000，接近度98.47%，所以初根的十分位定根为9；根9余1221779951，余度1.53%。

5、估算初根的千分位：
由于初根的百分位9，使得接近度为98.47%，可以确定初根的千分位必然不足5。

所以\sqrt[5]{40} \approx 2.09。