** 题：如图，△ABC的角平分线AD交其外接⊙O于点D，交BC于点F，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，且BD=
3\sqrt{2}
，DE+CE=6，AB：AC=3：2。求BF的长。**
解答：如图，过点F作FG ∥ AC交AB于点G，连接OD交BC于点M，过点C作CN ⊥ DE，垂足为N，连接CD。
则BM=CM=\frac{1}{2}BC
∵ ∠1=∠2，∴ ∠2=∠AFG=∠1，∴AG＝GF，BD=CD
又 ∵ FG ∥ AC，
∴ \frac{BF}{CF}=\frac{BG}{AG}=\frac{BG}{BF}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}
∴ BF=\frac{3}{5}BC，CF=\frac{2}{5}BC
∵ ∠\alpha=∠1=∠2=∠DBC，
∴ BC ∥ DE，∴ DM=CN，DN=CM=\frac{1}{2}BC
在Rt△BDM中，DM²=BD²－BM²=BD²-(\frac{1}{2}BC)^2
在Rt△CNE中，CE²=NE²+CN²=(DE-\frac{1}{2}BC)^2+CN^2
∴ CE²=(DE-\frac{1}{2}BC)^2+DM^2=(DE-\frac{1}{2}BC)^2+BD²-(\frac{1}{2}BC)^2
又∵ DE+CE=6
∴ DE=\frac{18}{12-BC}，CE=\frac{54-6BC}{12-BC}
从而 \frac{DE}{CE}=\frac{3}{9-BC}
∵ DE与⊙O相切，∴ ∠CDE=∠DBF
∵ BC ∥ DE，∴ ∠E=∠ACF=∠BDF
∴ △BDF\sim △DEC
从而 \frac{DE}{CE}=\frac{BD}{DF}=\frac{3}{9-BC}
又∵BD=3\sqrt{2}，∴ DF=（9-BC)\sqrt{2}
又∵ △BDF\sim △DEC
∴ \frac{DF}{CE}=\frac{BD}{DE}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{18}{12-BC}}
又∵ BC ∥ DE ∴ \frac{AF}{AD}=\frac{AC}{AE}
∵ ∠FCD=∠1，∠AFB=∠CFD
∴ △AFB\sim △CFD
从而 \frac{AB}{AF}=\frac{CD}{CF}=\frac{BD}{CF}，即AB·CF=BD·AF
∴ \frac{AB}{AF}=\frac{AF\cdot AB\cdot CF}{AD\cdot BD\cdot AF}=\frac{AB \cdot CF}{AD \cdot BD}=\frac{AC}{AE}
即\frac{AB \cdot CF}{AC}=\frac{AD \cdot BD}{AE}
∴ \frac{3}{2}CF=3\sqrt{2}\frac{AD}{AE}
又 ∵ BC ∥ DE，∴ \frac{AD}{AE}=\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{DE}
∴ \frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}CF\cdot\frac{1}{3\sqrt{2}}
=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5}BC\cdot\frac{1}{3\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{2}}{10}BC\frac{BD}{DE}
=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{18}{12-BC}}
∴\frac{3\sqrt{2}}{\frac{18}{12-BC}}=\frac{\sqrt{2}}{10}BC
化简得，\frac{12-BC}{6}=\frac{BC}{10}
解得：BC=7.5
所以 BF=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}\times7.5=4.5
综上，所求的BF的长为4.5。