数学游戏中得到具有整数根的二次方程

题目：教师在黑板上写一个二次三项式f(x)=x^2+10x+20，

每个学生再随意把一次项的系数加1或减1，也可以把常数项加1或减1，

但不能两者同时进行，最后得到二次三项式f(x)=x^2+20x+10。

是否存在变化过程中某个时刻得到一个具有整数根的二次三项式？

解答：

设在变化过程中霜个时刻得到的二次三项式为f(x)=x^2+ax+b，

根据题设条件可能写出的二次三项式为

g_1(x)=x^2+(a \pm 1)x+b，或g_2(x)=x^2+ax+(b \pm 1)，

令x=-1时，有

f(-1)=1-a+b,

g_1(-1)=1-a+b\pm 1,

g_2(-1)=1-a+b\pm 1。

比较上面三式，得到

g_1(-1)=f(-1)\pm 1 或 g_2(-1)=f(-1)\pm 1。

这就说明按题设条件进行操作变化时，每次总是二次三项式f(x)在x=-1时的值增加1或减少1。

又因为在变化前f(x)=x^2+10x+20在x=-1时的值为11，

变化后，最后得到的f(x)=x^2+20x+10在x=-1时的值为-9，

所以，在变化过程中必有某个时刻得到的二次三项式在x=-1时的值为0，

即此时的二次三项式有整数根x_0=-1，得证。