1、\frac{A^2}{B}型
例题：设x_1,x_2,\ldots,x_n为正数，求证：
\frac{{x_1}^2}{x_2}+\frac{{x_2}^2}{x_3}+\ldots+\frac{{x_{n-1}}^2}{x_n}+\frac{{x_n}^2}{x_1}
\geq
x_1+x_2+\ldots+x_n
证明：设x_1=x_2+\varepsilon_1,x_2=x_3+\varepsilon_2,\ldots,x_{n-1}=x_n+\varepsilon_n,x_n=x_1+\varepsilon_n,
则有\sum_{i = 1}^n {\varepsilon_i}=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\ldots+\varepsilon_n=0
原不等式左边
=\frac{({x_2+\varepsilon_1})^2}{x_2}+\frac{({x_3+\varepsilon_2})^2}{x_3}+\ldots+\frac{({x_1+\varepsilon_n})^2}{x_1}
=\sum_{i = 1}^n {x_i}+2\sum_{i = 1}^n {\varepsilon_i}+\frac{{\varepsilon_1}^2}{x_2}+\frac{{\varepsilon_2}^2}{x_3}+\ldots+\frac{{\varepsilon_n}^2}{x_1}
\geq \sum_{i = 1}^n {x_i}
=原不等式右边。
∴ 原不等式成立。
练习：（第24届IMO试题）
设a,b,c为三角形的三边长度，求证：
b^2c(b-c)+c^2a(c-a)+a^2b(a-b)\geq 0提示：设a=x+y,b=y+z,c=z+x,
x,y,z\in R^+，则原不式等式可化为：
\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-(x+y+z)\geq 0.
2、\frac{A^2}{B+C}型
例题：（第二届“友谊杯”国际数学竞赛试题）
已知a,b,c\in R^+,求证：
\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)
证明：设a=\frac{b+c}{2}+\varepsilon_1,b=\frac{c+a}{2}+\varepsilon_2,c=\frac{a+b}{2}+\varepsilon_3 ，
则有\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=0。
从而不等式左边
=\frac{(\frac{b+c}{2}+\varepsilon_1)^2}{b+c}+\frac{(\frac{c+a}{2}+\varepsilon_2)^2}{c+a}+\frac{(\frac{a+b}{2}+\varepsilon_3)^2}{a+b}
=\frac{1}{2}(a+b+c)+(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)+\frac{\varepsilon_1^2}{b+c}+\frac{\varepsilon_2^2}{c+a}+\frac{\varepsilon_3^2}{a+b}
\geq \frac{1}{2}(a+b+c)=原不等式右边。
∴ 原不等式成立。
练习：
1.（第24届前苏联数学竞赛试题）已知a_1,a_2,\ldots,a_n \in R^+，且\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}=1.求证：
\frac{a_1^{2}}{a_1+a_2}+\frac{a_2^{2}}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{a_n^{2}}{a_n+a_1}\geq \frac{1}{2}
2.已知a_i,b_i \in R^+,(i=1,2,\ldots,n)且
\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } = \sum_{i = 1}^n {b_i } 。
求证：\sum\limits_{i = 1}^n \frac{{}{a_i}^2} {a_i+b_i} \geq \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^n {a_i }
3、\frac{A^2}{S-A}型
例题：设a_i \in R^+(i=1,2,\ldots,n,n\geq 2),
S=\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } .证明：
\sum \limits_{i = 1}^n \frac{{a_i}^2}{S-a_i} \geq \frac{S}{n-1}.
证明：设a_i=\frac{S-a_i}{n-1}+\partial _i,(i=1,2,\ldots,n)
则\partial _1+\partial _2+\ldots+\partial _n=0
从而不等式左边
……（后略）
4、\frac{A^2}{S-nA}型
例题：设a,b,c为△ABC的三边，求证：
\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c。
证明 ：令S=a+b+c，则上述不等式转化为
\frac{a^2}{S-2a}+\frac{b^2}{S-2b}+\frac{c^2}{S-2c}\geq a+b+c
再设a=S-2a+\partial _1,b=S-2b+\partial _2,
c=S-2c+\partial _3，则
\partial _1+\partial _2+\partial _3=0
从而原不等式
左边=\frac{(S-2a+\partial _1)^2}{S-2a}+\frac{(S-2b+\partial _2)^2}{S-2b}+\frac{(S-2c+\partial _3)^2}{S-2c}
=(S-2a+S-2b+S-2c)+2(\partial _1+\partial _2+\partial _3)+
\frac{{\partial _1}^2}{S-2a}+\frac{{\partial _2}^2}{S-2a}+\frac{{\partial _3}^2}{S-2a}
\geq S=a+b+c
∴ 原不等式成立。
5、\frac{A}{B^2}型
例题：（第20届IMO试题）
设a_1,a_2,\ldots,a_n是n个互不相同的自然数。求证：
\sum_{k = 1}^n {\frac{{a_k }}{{k^2 }}} \geq \sum_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}
证明：设\frac{1}{k}=\frac{1}{a_k}+ \varepsilon_k ,
由\sum_{k = 1}^n {a_k } \geq \sum_{k = 1}^n {k } 知，\sum_{k = 1}^n \frac{1}{a_k } \leq \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k } ，则有
\sum_{k = 1}^n \frac{1}{\varepsilon_k }=\sum_{k = 1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{a_k }) \geq 0
从而原不等式
\sum_{k = 1}^n {\frac{{a_k }}{{k^2 }}}=\sum_{k = 1}^n \frac{(\frac{1}{k})^2}{\frac{1}{a_k}}=\sum_{k = 1}^n \frac{(\frac{1}{a_k}+\varepsilon_k)^2}{\frac{1}{a_k}}
=\sum_{k = 1}^n {\frac{1}{a_k}}+2\sum\limits_{k = 1}^n {\varepsilon_k}+\sum_{k = 1}^n {a_k \varepsilon_k^2}
\geq \sum_{k = 1}^n {(\frac{1}{a_k}+\varepsilon_k)}=\sum_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}
∴ 原不等式得证。