圆的面积
广州市海珠区红棉小学 朱天海
教研专题：“空间观念”在课堂教学中的渗透
教学内容：义务教育教科书（2013）第67-68的内容及例1。
教材分析：
《数学课程标准》提出，学生通过“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”如何改善空间与图形的教学呢？我们认为应该做到四点：从生活实际入手，引发数学问题；加强直观操作，形成清晰表象；鼓励动手实践，在实践中发展空间观念；强化应用意识，在应用中提升空间观念。
教材首先通过计算圆形草坪占地面积的实际情境提出圆面积的概念，一方面使学生在以前所学知识的基础上理解 “圆的面积就是它所占平面的大小”；另一方面使学生体会在实际生活中计算圆面积的必要性。为了更好适应学生的学习架构，在情境的创设中，作了一些调整。先是通过蓝奇奇小视频12寸披萨和两个6寸披萨的生活故事引入比较圆的大小，从而引出课题。
在推导圆的面积计算公式的过程中，为学生创造机会，作好基础铺垫，在动手操作的过程中逐步弄清圆与所转化成图形之间的关系，进而推导圆的面积计算公式。
学情分析：
本课内容是在学生初步认识了圆，学习了圆的周长和学过几种常见几何图形面积的基础上进行教学的。
三年级通过“数方格”的方法学习了长方形和正方形的面积；五年级通过“转化”学习探究了平行四边形、三角形和梯形的面积；六年级前面刚认识了圆及其周长的有关计算。
本课在新授课前先唤醒学生关于转化思想的相关记忆，为实现旧知识的迁移做好铺垫。
教学目标：
1. 通过比一比、估一估、剪一剪、拼一拼，体会曲与直、有限与无限的转化，会推导圆面积的计算公式。
2. 经历圆的面积计算公式的推导过程，体会转化的思想方法。
3. 培养动手操作、自主探究的能力，发展和提升空间观念。
教学重点：理解圆的面积公式的推导过程。
教学难点：理解利用无限分割进行化曲为直，进而推导圆面积的计算公式。
教学准备：多媒体课件、2个圆形纸片、剪刀
教学过程：
（一）情境引入，激趣比较，积淀空间观念
导入：同学们，你同意蓝奇奇的说法吗？
其实要比较12寸披萨和两个6寸披萨的大小，关键要比较两者的面积，即圆的面积，这节课我们一起来探究圆的面积。（板书课题：圆的面积）
【设计意图】通过情境的逼迫和引导，勾起学生对新知学习的欲望。
（二）操作内化，合作交流，建构空间观念
导语：什么是圆的面积？根据两个正方形和圆的关系，估一估圆的面积应在什么范围？
（个别回答。）
1. 复习旧知，让数学知识在已有的数学经验上生长
（1）回顾平面图形的面积公式及推导过程。
（2）设疑：打算用什么方法研究圆的面积呢？
【设计意图】回顾已学平面图形面积的计算公式，感悟转化策略比数方格计量图形面积的优势，让学生自我生成研究圆的面积的转化策略。
2. 动手操作，观察发现，积蓄思维突破的能量
（1）小组活动：通过折一折，观察圆曲边的变化，说说你的发现。
（2）说发现，指名回答。
3. 分割转化，化曲为直，感悟数学思想
（1）PPT演示圆的分割带来的变化，让化曲为直变成可能。
（2）小组合作：拿出信封中的2号圆，通过剪一剪、拼一拼，把圆转化成已学的直边图形。
（3）汇报交流：通过剪和拼，说说你的发现。
（4）想像“无限分割”圆，实现“化曲为直”。
小结：分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形。
【设计意图】不管是用折的方法还是剪拼的方法，让学生在数学困境中初步感知图形的变化趋势——只要不断分割图形，底边会越来越平直，为一步做出逻辑分析与合情推理作出铺垫。运用多媒体手段，把一个圆不断分割，就能直观地看到每次分出的一块图形。在此基础上，组织学生把圆等分后拼出直边图形，观察发现，再借助多媒体课件不断细分，充分感知图形的变化趋势，由平行四边形逐渐变成长方形。
4. 利用研究成果，推导圆面积计算公式，形成结论。
（1）导语：观察转化后的长方形和原来的圆有什么联系？如何利用长方形的面积计算公式推算出圆的面积计算公式的呢？
（2）小组交流：把讨论的结果记录在研究单活动三上。
（3）汇报交流。
（4）PPT演示：重点突破长方形的长与圆的周长的一半，宽与圆的半径的对应关系。
小结：如果用S表示圆的面积，圆的半径为r，那么S=πr²。
【设计意图】在学生通过前期操作研究后，运用多媒体手段，重点突破长方形的长与圆的周长的一半，宽与圆的半径的对应关系，从面推算出圆面积的计算公式。
（三）问题解决，学以致用，深化空间观念
1. 即时练习：已知一个圆的半径，求圆的面积；（见课件）
2. 回归课本，质疑解惑；
3. 例1：已知一个圆的直径，求圆的面积；
4. 回归情境，观看视频。
5. 提高练习：已知一个圆的周长，求圆的面积。
【设计意图】回归情境和课本，让学生体会知识用于实践，并服务于实践。
（四）回顾反思，拓展历史，提升空间观念
回顾一下，这节课你有哪些收获？
是的，重要的不只是会算圆的面积，更重要的是通过无限分割，实现化曲为直。这一想法是17世纪德国数学家开普勒开创的。
拓展：你还能将圆形转化成其他直边图形来推导圆的面积计算公式吗？
作业布置：
1. 复习书P67-68；
2. 完成个人学习单第3、4题。
板书设计：
圆的面积
长方形的面积＝ 长 × 宽
圆的面积＝圆周长的一半 × 半径
＝πr×r
S ＝πr²