一、利用左、右极限求函数极限
【例】求\limits_{x\to 0}\left ( {\frac {2+{e}^{\frac {1} {x}}} {1+{e}^{\frac {1} {x}}}+\frac {\sin {x}} {\left | {x} \right |}} \right ).
【分析】本题函数关系式中含有绝对值，本质上是一分段函数，在分段点的极限应通过左、右极限来讨论。
解：因为
\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left ( {\frac {2+{e}^{\frac {1} {x}}} {1+{e}^{\frac {1} {x}}}+\frac {\sin {x}} {\left | {x} \right |}} \right )
=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left ( {\frac {2+{e}^{\frac {1} {x}}} {1+{e}^{\frac {1} {x}}}-\frac {\sin {x}} {x}} \right )
=\frac{2}{1}-1
=1
\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left ( {\frac {2+{e}^{\frac {1} {x}}} {1+{e}^{\frac {1} {x}}}+\frac {\sin {x}} {\left | {x} \right |}} \right )
=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left ( {\frac {2+{e}^{-\frac {1} {x}}} {1+{e}^{-\frac {1} {x}}}+\frac {\sin {x}} {x}} \right )
=0+1
=1
综上得，原式=1.
二、求未定式（\frac {0} {0},\frac {\infty } {\infty },0\cdot \infty ,{1}^{\infty },{0}^{0},{\infty }^{0}）的极限
【例】求\lim\limits_{x\to 0}\frac{3\sin{x}+x^2\cos{\frac{1}{x}}}{(1+\cos{x})\ln(1+x)}.
【分析】先用无穷小量的等价代换进行化简，再结合重要极限\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1以及无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量进行计算。
解：
\lim\limits_{x\to 0}\frac{3\sin{x}+x^2\cos{\frac{1}{x}}}{(1+\cos{x})\ln(1+x)}
=\lim\limits_{x\to 0}\frac{3\sin{x}+x^2\cos{\frac{1}{x}}}{2x}
=\frac{3}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}+\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}x\cos{\frac{1}{x}}
=\frac{3}{2}+0
=\frac{3}{2}.
所以，\lim\limits_{x\to 0}\frac{3\sin{x}+x^2\cos{\frac{1}{x}}}{(1+\cos{x})\ln(1+x)}=\frac{3}{2}.