利用导数证明不等式

前言：不等式的证明关键在于辅助函数的构造；也可以先将要证的不等式作适当的变形进行证明。

【例】试证明：当x>0时，({x}^{2}-1)lnx\geq {(x-1)}^{2}.

【解法1】令f(x)=({x}^{2}-1)lnx - {(x-1)}^{2}，易知f(1)=0;

又f^{'}(x)=2xlnx-x+2-\frac {1} {x},f^{'}(1)=0;

又f^{''}(x)=2lnx+1+\frac {1} {x^2},f^{''}(1)=2>0;

可见，当0<x<1时，f^{'''}(x)<0;当x>1时，f^{'''}(x)>0,

因此当x>0时，f^{''}(x)\geq f^{''}(1)=2>0;

又由f^{'}(1)=0及{f}^{'}(x)是单调函数可知，

当0<x<1时，{f}^{'}(x)<0;当x>1时，{f}^{'}(x)>0,

因此有

f(x)\geq f(1)=0

即得证：当x>0时，({x}^{2}-1)lnx\geq {(x-1)}^{2}.