好玩的祖冲之“密率”

中国南北朝时南朝的科学家、数学家祖冲之（429~500），在宋大明六年即462年上表论历。他和他儿子祖暅（5~6世纪）写了一本叫《缀术》的书。书中记载了有关圆周率的密率\frac {355} {113}，约率\frac {22} {7}。此处论及密率\frac {355} {113}有关问题。

（1）\frac {355} {113}的精确度及相关的问题。\frac {355} {113}展开成小数的值是3.141 592 920 3…，其小数循环节为113-1=112位。显然，它只与圆周率π值的前6位小数吻合。虽然这只求出π的8位准确值，但这个纪录在当时保持了近1000年。直到1424年前后才由中亚的阿尔·卡西（？~1429或1436）以17位准确值打破。而他的密率，则直到1573年才由数学家奥托，和出生在梅兹后移居荷兰的安托尼兹于1585年才重新发现。

（2）祖冲之用\frac {355} {113}作密率具有创造性，简单易记、准确、有趣。这些，不但在数学史上是长盛不衰的美谈佳话，而且与许多成果密切相关。下面举例说明。

①\frac {355} {113}便于记忆是显而易见的。将最小的三个奇数1，3，5各重复一次后“平均“斩为两份。大数在上，小数在下。有趣的巧合是，它的分子和分母，都可以用平方数和简单地表示出来：\frac {355} {113}=\frac {{7}^{2}+{9}^{2}+{15}^{2}} {{7}^{2}+{8}^{2}}，更有趣的巧合是7，8，9是连续的自然数，而7+8=15！

②\frac {355} {113}的准确程度，相当于一个圆的直径是10千米，用它算出的圆周长比准确值大不到3毫米！事实上，密率\frac {355} {113}与π的真值的相对误差仅为\frac {9} {{10}^{8}}！！