三次方程的解法

我国对高次方程的研究也开始得很早。早在唐朝，王孝通著的《辑古算经》就记载有方程{x}^{3}+p{x}^{2}+qx=A，并说明“以立方除之”。到了13世纪的金元时期，有李冶（1192~1297）、秦九韶（1202~1261）、杨辉（1261~1275）、朱世杰（12世纪末~13世纪初）等，都曾对高次方程提出解法，当时用算筹可以解出十次方程。但在我国古代，数学偏重于应用，只讨论正根，不讨论负根，自然更没有虚根。不过在13世纪我们已经能求出高到十次方程的正根，已经很也不起，值得我们自豪！

用配方法解二次方程早在巴比伦时代就已经知道了，高于二次的方程就是另外一回事了。解一般的三次方程要困难得多，这使得许多古代数学家的努力都归于失败。直到16世纪初意大利的文艺复兴时代，这个问题才为意大利的数学家所解决。

解三次方程的步骤分为三步：

①将一般方程化为缺项的三次方程；

②解缺项的三次方程；

③解的确定。

（1）韦达公式

设一元三次方程为{y}^{3}+a{y}^{2}+by+c=0，则

a=-({y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3})

b={y}_{1}{y}_{2}+{y}_{2}{y}_{3}+{y}_{3}{y}_{1}

c=-{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}

（2）缺项的三次方程

在方程{y}^{3}+a{y}^{2}+by+c=0中，令y=x-\frac {a} {3}代入，即可化为不含{x}^{2}项的三次方程

{x}^{3}+px+q=0

（3）求根公式

引进两个未知量u和v代表一个未知量x。设x=u+v，代入缺项的三次方程中，得到

{(u+v)}^{3}+p{(u+v)}+q=0

展开，化简得

({u}^{3}+{v}^{3}+q)+(3uv+p)(u+v)=0

令3uv+p=0\leftrightarrow uv=-\frac {p} {3}

从而

{u}^{3}+{v}^{3}=-q,{u}^{3}{v}^{3}=-\frac {{p}^{3}} {27}

所以，{u}^{3}和{v}^{3}是二次方程

{z}^{2}+qz-\frac {{p}^{3}} {27}=0

的两个根。解这个方程，得

z=-\frac {q} {2}\pm \sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}

因此

u=\sqrt[{3}] {{z}_{1}}=\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}+\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}

v=\sqrt[{3}] {{z}_{2}}=\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}-\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}

这样一来，就得到了缺项三次方程的一个根

x=u+v=

\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}+\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}+\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}-\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}

知道了三次方程的一个根，就容易求出缺项三次方程的另外两个根了。

再根据最开始时的代换y=x-\frac {a} {3}，即可求出原一般三次方程的三个根了。

试试解下面的一个方程：

【例】解方程：f(x)={x}^{3}-6{x}^{2}+15x-14=0.

另解：

最高项系数因数分别是±1，常数项的因数有±1，±2，±7，±14，所以原方程的有理根可能是±1，±2，±7，±14。

易得，f(1)=-4≠0，f(-1)=-36≠0，所以±1都不是原方程的根。

另一方面，

当且仅当α=2时，frac{f(1)}{1-α}和frac{f(-1)}{1+α}为整数，故原方程的有理根只能是2，

验证：

2 | 1  -6  15  -14

          2   -8    14

_________________

       1  -4     7       0

所以，想x=2是原方程的有理根。

事实上，f(x)=(x-2)(x^2-4x+7).