tan1°是有理数吗？

来自于日本京都大学2016年入学考试中的一道题：

tan{1}^{\circ }是有理数吗？

【解析】由两角和的正切公式来看：

tan(\alpha +\beta )=\frac {tan\alpha +tan\beta } {1-tan\alpha \cdot tan\beta }

假设tan{1}^{\circ }是有理数，当\alpha=\beta=1^\circ时，

tan{2}^{\circ}也是有理数。

如此类推，对于所有的n，tan{n}^{\circ }都是有理数。

但是tan{60}^{\circ }=\sqrt{3}是一个无理数。矛盾！

假设不成立。

所以tan{1}^{\circ }是无理数。

其实，早在几百年前，19岁的数学家高斯就已经发现，

当\alpha（弧度制）是无理数时，tan\alpha必是无理数；

反之亦然。