谈谈斐波纳契数列

意大利比萨的数学家斐波纳契在1202年研究兔子的繁殖方式（更多是在生物学意义上而非数学意义上）时所发现的重要的数字序列——斐波纳契数列。

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……

用递推公式表示，数列\left \{  {{F}_{n}} \right \} 中，

{F}_{n+2}={F}_{n+1}+{F}_{n},{F}_{1}={F}_{2}=1

其通项公式是

{F}_{n}=\frac {1} {\sqrt {5}}\left [ {{(\frac {1+\sqrt {5}} {2})}^{n}-{(\frac {1-\sqrt {5}} {2})}^{n}} \right ]

通项公式的推导方式有很多，详见百度百科：斐波纳契数列

喜欢这些数字的也并非只有兔子。植物花瓣的数量通常也都是斐波纳契数列中的数字。延龄草有3瓣花瓣，紫罗兰有5瓣，飞燕草3 8瓣，万寿菊有13瓣，菊苣有21瓣，除虫菊有34瓣，向日葵则通常有55甚至89瓣。

除花朵外，在松果和菠萝上也可以发现斐波纳契数列中的数字。切开一只香蕉，你就会发现它是由三个部分组合而成的；而从一个苹果的茎部一刀切至底部，你就能看到一个五角星的形状；如果切开一个莎隆果，你就能看到一个八角星的形状。

贝壳演变的方式同样也与这些数字存在着紧密关联。蜗牛幼虫的外壳起初很小，随着蜗牛的成长，它就会一圈接着一圈地建造房子。但是，由于施展空间有限，它只能简单地在原有房屋的基础上增加一个面积等于之前两个房间之和的新房间，这一点正和斐波纳契数列一样——后一项数字是此前两个数字的和。这一生长过程虽十分简单，却制造出了一个十分美妙的漩涡式形状。如下图，你还可以根据图中，发现众多斐波纳契数列的规律呢。有兴趣的读者可以去尝试一下，比如\sum ^{n}_{i=1} {{F}^{2}_{i}}={F}_{n}\cdot {F}_{n+1}。

另外，斐波纳契数列和质数之间似乎也存在着一种有趣的关联。以下是斐波纳契数列中靠前的几个数字：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，

987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，

……

其中，每当p是质数时，第p个斐波纳契数也为质数。例如，11是质数，而第11个斐波纳契数字89，也是质数。如果这一点成立的话，那么人们便找到了一种寻觅更多质数的好方法。只可惜，它不是总成立的。例如19是质数，但第19个斐波纳契数4181并非质数，4181=37×113。但是否可以确定斐波纳契数是质数，那么它所在的项数也为质数哟？有兴趣的话可以去探索一下。另外，到目前为止，尚未有科学论证，是否斐波纳契数列中有无限个质数。这一点则又是众多有关质数的未解之谜中的一个。