代数基础（1）：自然数加法满足交换律的理论证明

定义：自然数的加法是指这样的映射，即当a，b∈N时，有一个自然数c=a+b和它们对应，且具有以下三个性质：

（1）对任意的a∈N，有a+0=a；

（2）对任意的a∈N，有a+1=a＇；

（3）对任意的a，b∈N，有a+b=（a+b）＇。

01

—

证明：由定义知

2+1=2＇=3

又因为

2+2=2＋1＇=（2+1）＇=3＇=4

所以

2+3=（2+2）＇=4＇=5，

得证。

预热2：0+a=a的证明

证明：

当a=0时，由定义（1）知，0+0=0，即0+a=a。

当a=1时，由定义（2）有0+1=0＇=1，即0+a=a。

假设对任意的a∈N，有0+a=a，则对a＇=a+1，根据定义（3），0+a＇=（0+a）＇=a＇。

由数学归纳法知，对任意的自然数a，均有0+a=a。

加法交换律，即a+b=b+a的证明

证明：

当b=0时，由定义（1）知，a+b=a+0=a；而由预热2，b+a=0+a=a，即得a+b=b+a。

先证明对任意的自然数a，有a+1=1+a.

若a=1，则1+1=1+1，交换律显然成立。

假设对某一自然数a，有a+1=1+a，则对a＇=a+1，

因a＇+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（1+a）=1+a＇.

由数归得，对任意自然数a，有a+1=1+a。

设对某一些自然数a，b，有a+b=b+a，则对b＇=b+1，

由定义（3）有

a+b＇=(a+b)＇=(b+a)＇=b+a＇=b+(a+1)=(b+1)+a＇=b＇+a

则a+b＇=b＇+a.

综上所述，对任意a，b∈N，都有：a+b=b+a。