一道三角不等式的比较方法

设x∈[ 0, π ]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

解：令x=0，π/2，π分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易得

cos(sinx)>sin(cosx).

又当π/2<x<π时，0<sinx<1<π/2, -π/2<-1<cosx<0, 

则 cos(sinx)>0>sin(cosx).

下面证明 0<x<π/2, 则 0<π/2-sinx<π/2, 0<cosx<1<π/2. 故

只需证明：π/2-sinx>cosx, 即证明：sinx+cosx<π/2, 

而sinx+cosx≤√2<π/2, 成立。

说明：

本题的思路是从特殊到一般，由简单到复杂，这是数学的基本思想方法。

另外，正弦函数和余弦函数的值域|sinx|≤1, |cosx|≤1，也就是正、余弦函数的有界性，在比较三角值的大小、求三角函数最值以及三角不等式中有着重要的应用。

利用基本三角函数的图像或复合函数的单调性和三角变形，可使复杂三角函数化为最简形式，容易求出三角函数的单调区间。三角函数的单调性是解决三角不等式问题的重要依据。