艾森斯坦（Eisenstein）判别法和有理根定理的应用

【艾森斯坦（Eisenstein）判别法】设

f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n

是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使

（I）p \not{\mid} a_n，

（II）p \mid a_i (i = 0,1,2,...,n-1 )，

（III）p^2 \not{\mid} a_0.

那么多项式f(x)在有理数域上不可约.

例1. 证明以下多项式在有理数域上不可约：

(1) x^4-2x^3+8x-10;

(2) 2x^5+18x^3+6x^2+6;

(3)x^4-2x^3+6x^2-3;

(4)x^6+x^3+1.

解：

（1）取p=2，即可知原多项式不可约;

（2）取p=3，即可知原多项式不可约;

（3）令y=x+1，则

\begin{align}原式\\&=(y-1)^4-2(y-1)^3+6(y-1)^2-3\\&=y^4-6y^3+12y^2-8y+2\end{align}

取p=2即可知原多项式不可约。

（4）令y=x-1，则

\begin{align}原式\\&=(y+1)^6+(y+1)^3+1\\&=y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3\end{align}.

取p=3即可知原多项式不可约。

【有理根定理】设

f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n

是一个整系数多项式。

如果最简分数\frac{q}{p}是它的一个有理根，那么p \mid a_n, q \mid a_0。

例2. 求以下多项式的有理根：

(1) x^3-6x^2+15x-14;

(2)4x^4-7x^2-5x-1;

(3)x^5-x^4-\frac{5}{2}x^3+2x^2-\frac{1}{2}x-3.

解：

(1)最高次项系数的因数是\pm 1，常数项系数的因数是\pm 1, \pm2, \pm 7,\pm 14。

所以原多项式的有理根可能是\pm 1, \pm2, \pm 7,\pm 14。

又因为f(1)=-4,f(-1)=-36，

当且仅当\alpha=\pm2时，\frac{f(1)}{1-\alpha}和\frac{f(-1)}{1+\alpha}为整数，

而

\underline{\begin{matrix}-2 \mid 1 & -6 & 15 & -14 \\  & -2 & 16 & -62 \end{matrix}}

最后一列的结果和为-76，不为0，所以x=-2不是原方程的有理根。

\underline{\begin{matrix}2 \mid 1 & -6 & 15 & -14 \\  & 2 & -8 & 14 \end{matrix}}

最后一列的结果和为0，所以原方程的有理根是x=2.

(2)类似（1）分析，可得原方程的有理根是x=-\frac{1}{2}.

(3)先将原多项式同乘2，转化为整系数多项式

2x^5-2x^4-5x^3+2x^2-x-6，

再类似（1）分析，可得原方程的有理根是x=-1和x=2.