【相关概念】
1、单调性：设函数y=f\left ( {x} \right )在区间\left [ {a,b} \right ]上满足：若{x}_{1},{x}_{2}\in \left [ {a,b} \right ]且{x}_{1}<{x}_{2}时，恒有f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2))成立，则称y=f(x)在区间[a,b]上单调递增（单调递减）函数，称区间[a,b]是函数y=f(x)的单调递增区间（单调递减区间）。
2、奇偶性：若函数y=f(x)对定义域内一切x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，则称y=f(x)为偶函数（或奇函数）。
3、周期性：函数y=f(x)满足：对定义域内任意x，存在常数T\neq 0，使f(x+T)=f(x)恒成立 ，则称y=f(x)为周期函数，T为y=f(x)的周期。
4、函数图像：
（1）图像的对称性
（2）平移变换
（3）翻折变换
（4）压缩变换
5、反函数
从A到B的映射f，满足对B中的每个元素，在A中都有唯一的元素是它的原象，则把这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。
我们称从B到A的映射叫做f的逆映射，记作f^{-1}:B\to A，由此确定的函数x=f^{-1}(y)叫做函数y=f(x)的反函数。一般记作y=f^{-1}(x)。
（1）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域，其图像关于y=x对称。
（2）单调函数一定具有反函数，任何函数在某一单调区间上都存在反函数。
（3）f^{-1}(f((x))=x，f(f^{-1}(y))=y。
【例题讲解】
例. 试求函数
y=f(x)=log_{0.5}(x^2+4x+4)
的单调区间。
解：由x^2+4x+4=(x+2)^2>0知，函数的定义域为(-\infty ,-2)\cup (-2,+\infty ).
令y=f(u)={log}_{0.5}u，u={x}^{2}+4x+4. 由于f(u)在R^+上是单调递减函数，u=x^2+4x+4在(-\infty ,-2)上是减函数，在(-2,+\infty )上增函数，那么由复合函数的单调性可知，y=f(x)=log_{0.5}(x^2+4x+4)在(-\infty ,-2)上是单调增函数。
事实上，令{x}_{1}<{x}_{2}<-2，则
f({x}_{2})-f({x}_{1})={log}_{0.5}(\frac {{x}_{2}+2} {{x}_{1}+2})^2.
由x_1+2<x_2+2<0得
0<\frac{x_2+2}{x_1+2}<1.
故0<(\frac{x_2+2}{x_1+2})^2<1。
由对数函数性质及0<(\frac{x_2+2}{x_1+2})^2<1可知
f({x}_{2})-f({x}_{1})={log}_{0.5}(\frac {{x}_{2}+2} {{x}_{1}+2})^2>0.
所以，f(x)在(-\infty ,-2)上单调增函数。