1、求满足方程1!十2!十3!十…⋯十x!=y2的所有正整数x,y的值。1、求满足方程1!十2!十3!十……十x!=y2的所有正整数x,y的值。
解：代入易知，当x<5时，满足原方程的组的解只有两组：(1,1)和(3,3)。解：代入易知，当x<5时，满足原方程的组的解只有两组：(1,1)和(3,3)。
下面说明原方程除此两解外，无其它满足要求的正整数解。下面说明原方程除此两解外，无其它满足要求的正整数解。
因为5!+6!+7!+⋯=5!×(1+6+6×7+⋯)=120×(1+6+6×7+⋯)因为5!+6!+7!+⋯=5!×(1+6+6×7+⋯)=120×(1+6+6×7+⋯)
即10∣(5!+6!+7!+⋯)即10∣(5!+6!+7!+⋯)
又1!+2!+3!+4!=33又1!+2!+3!+4!=33
所以当x≥5时，所以当x≥5时，
1!十2!十3!十…⋯十x!≡3(mod10)1!十2!十3!十……十x!≡3(mod10)
即：1!十2!十3!十…⋯十x!的个位数是3，而在整数的平方数中，个位数不可能是3.即：1!十2!十3!十……十x!的个位数是3，而在整数的平方数中，个位数不可能是3.
所以当x≥5时，原方程不存在满足要求的正整数解(x,y)。所以当x≥5时，原方程不存在满足要求的正整数解(x,y)。
所以，满足原方程的解(x,y)有且仅有两组所以，满足原方程的解(x,y)有且仅有两组
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2、已知16所学校要进行足球联赛，每所学校有2支球队分别是甲队和乙队，甲队相对较强,乙队相对较弱。规则是同所学校的两队不进行比赛，与其他每所学校的两队都进行比赛。到目前，除A校甲队外，其余每队进行的比赛场数都不同，求A校乙队目前已进行了多少场比赛？2、已知16所学校要进行足球联赛，每所学校有2支球队分别是甲队和乙队，甲队相对较强,乙队相对较弱。规则是同所学校的两队不进行比赛，与其他每所学校的两队都进行比赛。到目前，除A校甲队外，其余每队进行的比赛场数都不同，求A校乙队目前已进行了多少场比赛？
解：A校乙队目前已进行了0场比赛。理由如下：解：A校乙队目前已进行了0场比赛。理由如下：
共有32支球队,每队需要比赛30场。共有32支球队,每队需要比赛30场。
A市甲队以外其他各队已赛场数均不相同，则除A市甲队外其余共31队比赛场数分别为0,1,2,……,30。A市甲队以外其他各队已赛场数均不相同，则除A市甲队外其余共31队比赛场数分别为0,1,2,……,30。
则有球队比赛场数0场，假设不是A市乙队，则其他城市必有球队未比赛，则除A队以外其他球队不可能有赛30场的（同一个城市的两队不比赛），所以A市乙队比赛0场。则有球队比赛场数0场，假设不是A市乙队，则其他城市必有球队未比赛，则除A队以外其他球队不可能有赛30场的（同一个城市的两队不比赛），所以A市乙队比赛0场。
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3、一个四边形ABCD的面积是32，其中AB、AC、CD三边均为整数，且这三边的和为16，问这样的四边形有几个？3、一个四边形ABCD的面积是32，其中AB、AC、CD三边均为整数，且这三边的和为16，问这样的四边形有几个？
解：设AB=a,CD=b,AC=x，其中（a,b,x都为正整数，且a≤b）解：设AB=a,CD=b,AC=x，其中（a,b,x都为正整数，且a≤b）
令ΔABC边AB的高为m，ΔADC边CD的高为n。则令ΔABC边AB的高为m，ΔADC边CD的高为n。则
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当且仅当m=n=x时取等号。当且仅当m=n=x时取等号。
此时AB∥CD，即四边形ABCD为梯形或平行四边形，且AC为它们的高。此时AB∥CD，即四边形ABCD为梯形或平行四边形，且AC为它们的高。
由已知得：由已知得：
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∴64≤(16−x)x∴64≤(16−x)x
化简得：(x−8)2≤0化简得：(x−8)2≤0
又∵(x−8)2≥0又∵(x−8)2≥0
所以(x−8)2=0,x=8，此时a+b=8所以(x−8)2=0,x=8，此时a+b=8
所以这样的四边形有4个，分别是所以这样的四边形有4个，分别是
(a,b,x)=(1,7,8);(2,6,8);(3,5,8);(4,4,8).(a,b,x)=(1,7,8);(2,6,8);(3,5,8);(4,4,8).
$$
4、ΔA′B′C′的三边对应地比ΔABC的三边小。试举例说明ΔA′B′C′的面积是否一定比ΔABC的面积小。4、ΔA′B′C′的三边对应地比ΔABC的三边小。试举例说明ΔA′B′C′的面积是否一定比ΔABC的面积小。
解：海伦公式，三角形的三边分别为a,b,c，设p=12(a+b+c)，则解：海伦公式，三角形的三边分别为a,b,c，设p=12(a+b+c)，则
这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c).这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c).
设SΔABC=S1,SΔA′B′C′=S2,设SΔABC=S1,SΔA′B′C′=S2,
(1)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(3,3,3)，(1)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(3,3,3)，
S1=48，S2=94√3≈3.897，S1>S2；S1=48，S2=94√3≈3.897，S1>S2；
(2)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(4√6,4√6,8√3)，(2)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(4√6,4√6,8√3)，
S1=48，S2=48，S1=S2；S1=48，S2=48，S1=S2；
(3)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(9,9,9)，(3)当ΔABC三边为(10,10,16)，ΔA′B′C′三边为(9,9,9)，
$S_1=48，S_2=\frac{81}{2}\sqrt{3}\approx70.148，S_1
所以，ΔA′B′C′和ΔABC的面积关系不能确定。所以，ΔA′B′C′和ΔABC的面积关系不能确定。
