探究长方形内最大半圆的半径与尺规作图法
一、问题的引出
广州市教育研究院研发的阳光学业评价·数学六年级上册（配人教版，2015年8月第2版）练习十四第1（8）题有在正方形里画半圆的题目：
不少学生、老师和阳光学业评价丛书配套的参考答案认为这样解答：
受在正方形里画一个最大的圆（图1-1）的思维定势影响，以正方形一条边为直径，作半圆，即为最大半圆（图1-2）；故最大半圆的周长为圆周长的一半加半圆直径，C半圆＝πd÷2＋d＝3.14×8÷2＋8=12.56＋8=20.56（dm）。其实不以为然。下面将简要说明图1-3的半圆半径大于图1-2的半圆半径。
二、探究正方形中最大半圆的半径与正方形边长的关系
为了讨论更具有一般性，假设正方形的边长为a（a>0）。将图1-3标识如下（图2）：
设半圆的圆心为O，半径为r；半圆与正方形两边BC、CD相切与点G，H，连结GO，HO，延长HO与AB相交于I。
∵EO＝OF=r，且AD∥IH∥BC
∴AI＝IE＝a－r。
在Rt△OIE中，OI＝a－r，根据勾股定理，OI²＋IE²＝OE²得，
（a－r）²＋（a －r）²=r²
整理得：2（a－r）²＝r²
解得：r＝（2－）a或r＝（2＋）a（不合，舍去）
所以图1-3中半圆的半径为（2－）a>
接下来说明图1-3中的半圆为正方形里的最大半圆：
反证法。
如图3假设有一个半圆形E'O'F'比半圆形EOF还要大，则半圆形E'O'F'的直径E'F'＞半圆形EOF的直径EF，由图可知，E'应在EB之间，F'应在GD之间。同理，半圆形E'O'F'的半径＞半圆形EOF的半径。
由图知，其半径 O′H′＜OH，和假设矛盾。
所以，半圆形EOF就是正方形中最大的半
圆。
在本文开篇中阳光学业评价·数学六年级上册（配人教版，2015年8月第2版）练习十四第1（8）题的正确解答如下：
当a＝8dm时，正方形里最大半圆的半径为（2－）×8=16－8（dm），此时最大半圆的周长为：
C半圆＝πd÷2＋d＝π·2r÷2＋2r＝πr＋2r＝（π＋2）r＝（π＋2）×（16－8）≈24.088（dm）
三、正方形里画最大半圆形的尺规作图法
在正方形里画最大的半圆形，可以通过尺规作图来实现，具体流程如下∶
1.延长正方形一条边AB到E，使BE=AB，则AE=2a；
2.以A为圆心，AC为半径画弧，交BE于P，则AP=AC=a；
3.在CB上取CF=PE=（2－）a，过F作BC的垂线交AC于O，由于△ACB =45°，所以
OF=CF=（2－）a；
4.以O为圆心，OF为半径画弧，交AD于G，交AB于H，连接GH，可证H、O、G在同一直线上。
这样就画好了正方形中最大的半圆形（图4）。
四、推广
1、长方形里最大半圆形的半径与长宽的关系
为了方便讨论，设长方形的长BC为a，宽CD为b，且a＞b。
（1）当a≥2b时，如图5-1，容易看出最大半圆形的半径r等于长方形的宽b。
（2）当b<a<2b时，如图5-3，假设四边形ABCD是一个长方形（图5-3），根据上面证明，
在Rt△OKH中，OK＝a－r，KH＝b－r，
根据勾股定理，OK²＋KH²＝OH²得，
可以得到（a－r）²＋（b－r）²=r²。
去括号∶a²－2ar+r²＋b²－2br+r²=r²
化简后得到∶r²－（2a＋2b）r＋a²＋b²=0
由于r不可能超过a＋b的和，所以r=（a＋b）－。当a=b时（图3情况），r=（2－）a；
当a=2b时（图5-2情况），r=（2b＋b）－=3b－2b=b。
2、长方形里最大半圆形的尺规作图法
通过尺规作图在长方形（b<a<2b）里画最大的半圆形，如图6，则BD=
1.延长BC至E，令CE=CD，则BE=a+b；
2.以B为圆心，BD为半径画圆，交BA延长线于G，则BG=BD=
3.以B圆心，BE为半径画圆，交BG的垂线于H，则BH=BE=a+b，由GH²＋BG²=BH²，得到GH²=BH²－BG²=（a+b）²—（a²＋b²）=2ab，即GH=
4.截BI=GH，则IE=（a+b）－
5.以OJ为半径，O为圆心画弧，连结弧与AB、AD的交点，即可得到长方形（b<a<2b）里最大的半圆形。
五、结语
作为小学生的配套习题，希望再版时能充分考虑学生的现有知识，科学命题。根据本文论证，作为小学生，在出题时只需考虑长方形中最大半圆长大于或等于宽的2倍的情况即可，避免出现在长方形的其它情况或在正方形里求半圆周长或面积的相关问题。例如在阳光学业评价·数学六年级上册（配人教版，2015年8月第2版）练习十五第9题，命题是合理的。