来自日本京都大学2016年入学考试的一道题：判断tan1°是否是有理数。解析通过反证法，假设tan1°是有理数，则利用两角和的正切公式可推出所有整数度的正切值均为有理数，但tan60°=√3是无理数，产生矛盾，因此tan1°是无理数。文章还提到高斯曾发现，当α（弧度制）是无理数时，tanα必为无理数...

我国对高次方程研究较早，13世纪已能解十次方程正根。16世纪意大利数学家解决了一般三次方程的解法，其步骤包括化为缺项三次方程、求解缺项方程及确定根。文章介绍了韦达公式、缺项三次方程的变换（令y=x-a/3消去二次项）以及卡尔达诺求根公式（设x=u+v，得到u³和v³满足二次方程）。最后举例用有理根试...

文章包含两个数学例题：第一题求曲线y=lnx的切线、与坐标轴围成图形的面积及绕直线x=e旋转的体积；第二题涉及汽锤打桩的变力做功问题，通过定积分和等比数列求和计算击打深度及极限值。两题均运用定积分进行求解。

文章讲述了圆周率符号π在历史上的多种用途：曾用于表示比率、圆周、阶乘、连乘等，后来逐渐统一为表示圆周率，但至今仍被用于表示素数计数函数，体现了π符号“身兼数职”的历史演变。

本文通过构造辅助函数$f(x)=(x^2-1)\ln x-(x-1)^2$，利用导数分析其单调性，证明当$x>0$时$f(x)\geq f(1)=0$，从而得出原不等式成立，体现了辅助函数在不等式证明中的应用。

本文介绍了笔算开7次方根和11次方根的方法，通过分级确定根的位数，估算个位数并逐步调整，最终精确计算出结果，例如$\sqrt[7]{62748517}=13$和$\sqrt[11]{584318301411328}=?$等。

本文针对分母为四位数的分数等式$\frac{1}{□□□□}+\frac{1}{1988}=\frac{1}{□□□□}$，通过简化问题，推导出形如$\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{1}{Z}$的一般解公式：X=R(R+S)T，Y=S(R+S)T，Z=R·S·T（R,S,...

已知表达式 a = (11×66+12×67+13×68+14×69+15×70)/(11×65+12×66+13×67+14×68+15×69) × 100。通过分子加11+12+13+14+15后变形为 a = 100 + (11+12+13+14+15)/(分母) × 100。利用分母介于65...

分形几何学中的分维（分数维）概念由数学家豪斯道夫于1919年提出，他认为空间维数可以连续变化，既可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数，记作$D$。其定义为：若客体沿每个独立方向扩大$L$倍，新客体为原客体的$K$倍，则$K=L^D$，即$D=\log_L K$。

闵可夫斯基在四维时空中引入“时空间隔”概念，定义为ΔS² = (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²-c²(t₂-t₁)²。通过设x₄=ict，可表示为四维形式。将事件1置于原点，事件2在(x,y,z,t)，则ΔS² = x²+y²+z²-c²t²。根据ΔS²的正负或零，分为类空间隔(...

（最值问题）（2019清华自主招生压轴题）实数x，y满足x^2+(y-2)^2\\leq 1，求\\frac{x+\\sqrt{3}}{\\sqrt{x^2+y^2}}的最大值。

本文介绍了手动计算五次方根的方法，通过从个位开始五位数分级确定根位数，然后从高位逐级试根和调整，最终得出精确或近似结果。文中以三个示例说明：√[5]{371293}=13、√[5]{7962624}=24、√[5]{40}≈2.09，展示了具体计算步骤。

该文章讨论了计算90!的最后一位非零数字和最后两位非零数字的方法。第一部分通过分组和模运算，得出最后一位非零数字为2。第二部分利用中国剩余定理，去掉10的幂次后模25和模4，计算得出最后两位非零数字为12。

乘法口诀必须要背吗？答案是否定的，如果你能多角度、多思维地思考，相信你会有更深刻的收获或记忆。因为有研究表明，人大脑的记忆主要靠海马体的对外界的存储去实现，而它只会对概念的本质进行压缩存储。例如，我们以9×4和4×9为例说明：我们再举一例，计算15×8：　　最后我们再重现一道题的多种解析：【形状变化...

文章通过具体例子说明，代数恒等式可以用有限个特例验证，甚至一个特例即可证明。例如，二次恒等式若用三个不同x值代入均成立，则必为恒等式，因为非恒等式的方程不可能有三个根。更特殊地，对于系数受限的二次式，用x=10代入即可证明其恒等。该方法可推广至高次多元等式，只需选取足够大的数值。这表明，在数学中，归...