摘要：求所有整数$k(k\geq8)$使得$k^{\frac{1}{k-7}}$为整数。解得$k=8$时值为$8$，$k=9$时值为$3$。通过数学归纳法证明当$k\geq11$时$k
求所有整数$k(k\geq 8)$，使得${k}^{\frac {1} {k-7}}$也是整数。（来源：上海 · 郑韫瑜）
【分析与解】
易知，
当$k=8$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={8}^{\frac {1} {8-7}}=8$是整数；
当$k=9$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={9}^{\frac {1} {9-7}}=3$是整数；
当$k=10$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}={8}^{\frac {1} {10-7}}=\sqrt[3]{10}$不是整数；
下面证明，当$k\geq 11$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}$不是整数；
先证明，当$k\geq 11$时，$k< {2}^{k-7}$.
（i）当$k=11$时，$11< {2}^{11-7}=16$，成立；
（ii）假设当$k=m(m \geq 11)$时，有$m< {2}^{m-7}$;
则$ {2}^{m+1-7}=2\cdot {2}^{m-7}>2m>m+1$，
由（i），（ii）归纳，当$k\geq 11$时，$k< {2}^{k-7}$，得证。
于是，当$k\geq 11$时，
$1<{k}^{\frac {1} {k-7}}<{(2^{k-7})}^{\frac {1} {k-7}}=2$，
所以，${k}^{\frac {1} {k-7}}$不可能是整数。
综上，满足条件的整数$k=8$或$k=9$时，${k}^{\frac {1} {k-7}}$是整数。